Chapitre 2: Fonction (1)

I ) Fonction

Definition: une fonction est un procédé qui à chaques éléments souvent désignés par "x" d'un intervalle fait correspondre le nombre désigné par "y"

Remarque * une fonction est désignée par f ,g ,h

• * y = f(x)
• * y = f(x) donc f(x) est une valeur en ordonné

Exemple :

Soit la fonction f définie par f(x) = x-3

Cette fonction s'appelle fonction affine. Sa courbe ou sa représentation est une droite. Pour tracer cette droite, il nous suffit d'avoir 2 points

II ) Graphique, lecture graphique

La représentation graphique ou bien la courbe est l'ensemble des points M de coordonnées (x, y) avec y = f(x)

Exemple :

f(x) = x ²

• soit M un point du plan
• M (x , y) à pour coordonnées M (2 , 4)

M est -il un point de la courbe f ?

• M (2 , 4) ... x = 2
• Calculons f(2) = 2².
• f(2) = 4 donc M appartient à la coube

III ) Sens de variation

• Définition: la fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si les nombres et les images sont classés dans le meme ordre, c'est à dire a < b alors f(a) < f(b)
• f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si les nombres et les images sont classés dans l'ordre contraire,
• c'est à dire a < b alors f(a) > f(b)

Exemple :

f(x) = -2x+1...

• f est défini sur R
• determiner le sens de variation de f

Il semblerait que f soit décroissante

• soit a et b 2 réels quelconques avec a < b montrons que f(a) > f(b)
• on a f(x) = -2x+1
• f(a) > f(b) ..... => . -2a+1 > -2b+1
• a < b alors -2a < -2b
• ajoutons 1 à chaque membre de l'inégalité ::-2a+1 > -2b+1
• mais f(a) = -2a+1 .. et f(b) = -2b+1 ........ alors f(a) > f(b).
• ainsi donc, lorsque a < b, on a f(a) > f(b)

la fonction proposée est donc une fonction décroissante

IV ) Tableau de variation

Exemple :

soit f définie par f(x) = 2x+3.

• 1) Déterminer le sens de variation de f
• 2) Dresser le tableau de variation de f
• .f est une fonction affine car f(x) = ax+b , sa représentation graphique est une droite
• soit a > b comparons f(a) et f(b)
• .a > b entraine 2a > 2b entraine 2a+3 > 2b+3.
• mais 2a+3 = f(a) ... et ... 2b+3 = f(b)
• => f(a) > f(b).
• ainsi donc, si a > b alors f(a) > f(b) ....... => la fonction proposée est croissante

V ) Le maximum et minimum

Définition: soi f une fonction affine sur un intervalle

• le maximum est l'ordonné du point le plus bas.
• Le minimum est l'ordonné du point le plus haut