Chapitre 2 : Second degré

I ) Polynômes du second degré

1) Définition et exemples

Une fonction polynome du second degré est définie sur R, elle peut s'écrire sous la forme x ax² + bx + c

• a, b et c sont des réels fixés avec a =/= 0
• a coeficient de x²
• b coeficient de x
• c terme constant

Exemples:

* f(x) = x² - 3x + 5 ....... a = 1 .. b = -3 .. c = 5

* f(x) = -x² + 3 ..............a = -1 .. b = 0 .. c = 3

Contre exemples:

* f(x) = x + 1 n'est pas une fonction polynôme du second degré car a = 0

* f(x) = V¨(x) + x² n'est pas une fonction polynôme du second degré car il y a une racine V¨(x)

Remarque: fonction du second degré = fonction trinôme

2) Forme canonique

f(x) = ax² + bx + c

f(x) = a [(x + b/(2a))² - (b² - 4ac)/(4a²)] ceci s'appelle forme canonique

II ) Racines d' un trinôme : équations du second degré

Une équation du second degré à une inconnue x est est une équation qui peut être écrit sous la forme ax² + bx + c = 0 où a,b,c sont des réels donnés: a =/= 0

Racine

t est une racine de f(x) = 0 si et seulement si f(t) = 0

f(x) = x² - 3x + 2

.2 est-il racine de f(x) = 0 ?

• f(2) = 2² - 3*2 +2
• f(2) = 4 - 6 +2 = 0

donc 2 est une racine

résolution de l'équation ax² + bx + c = 0

.........................ax² + bx + c = 0

calculer = b² - 4ac

si < 0 .

alors S =

si = 0

alors x1 =x2 = -b / (2a)

si > 0

alors x1 = (-b +V¨() / (2a)...............x2 =(-b -V¨() / (2a)

III ) Factorisation du trinôme ax² + bx + c (a =/=0)

f(x) = ax² + bx + c = a [(x + b / (2a)) - (b² - 4ac) / (4a²)]

= b² - 4ac

1) =0

• f(x) = ax² + bx + c = a [( x + b / (2a) )²]
• .f(x) = ax² + bx + c = a ( x + b / (2a) )²
• x1 = x2 = -b / (2a)
• .f(x) = a (x - (-b) / (2a) )²

.f(x) = a (x - x1)² = a (x - x2)²

2) > 0

• f(x) = ax² + bx + c = a [( x + b / (2a) )²]
• f(x) = a [( x + b / (2a) )² - (V¨() )² / (4a²)]
• f(x) = a [(x+b/(2a) )² - (V¨()/2a)²]
• f(x) = a [(x + b / (2a) + V¨() / 2a)*(x + b / (2a) - V¨() / 2a)

x1 = (-b + V¨() ) / 2a ................... x2 = (-b -V¨()) / 2a

f(x) = a (x - (-b + V¨() ) / 2a)(x - ( -b -V¨() ) / 2a)

f(x) = a ( x - x2 )( x - x1 )

3) < 0

f(x) = a [( x + b / (2a) )² + - / (4a²)] ................................................................................................................................ ..f(x) = a [( x + b / (2a) )² + k²] en posant k² = - / (4a²)

lorsque < 0 , f(x) n'est pas factorisable sous forme d'un facteur premier

IV ) Signe du trinôme ax² + bx + c = f(x)

* < 0 , f(x) = a [( x + b / (2a) )² + - / (4a²)]

* = 0 , f(x) = a (x - x1)² = a (x - x2)²

* > 0 , f(x) = a ( x - x2 )( x - x1 )

< 0 ... f(x) dépend de a

• a > 0 => sur R ax² + bx + c > 0
• a < 0 => sur R ax² + bx + c < 0

* = 0

* > 0 , f(x) = a ( x - x2 )( x - x1 ) = ax² + bx + c

V ) Courbe représentative d'une fonction trinôme

Rappel: f(x) = x²

La représentation graphique est une parabole

Soit f(x) = ax² + bx + c

• f(x) = a [( x + b / (2a) )² + - / (4a²)]
• f(x) = a [(x + b/(2a) )²] - / (4a)
• f(x) + / (4a) = a [(x + b/(2a) )²]

on pose f(x) = y et f(x) + / (4a) = Y et x + b/(2a) = X

Y = aX² , cette écriture nous permet d'affirmer que la courbe représentative de la fonction est une parabole