Chapitre 3 : Les valeurs absolues encadrements

I] définition et propriétés

Définition : Soit x un réel, on appelle valeur absolue de x notée |x| le nombre positif défini par :

• |x| =x si x ³ 0
• |x| =-x si x £ 0

Propriétés :

• |-x| = | x|
• Ö(x² )= | x|
• |xy| = | x| *| y|
• |x/y| = |x| / |y| si y ¹ 0

Inégalité du Triangle : |x+y| £ |x| + |y|

Propriétés : Soit a > 0 et x réel, alors:

• |x| = a ó x = a ou x = -a
• |x| £ a ó S = [-a;a]
• |x| > a ó S =

II] Encadrements

Définition : Réaliser l'encadrement d'un nombre x quelconque, c'est trouver 2 nombres a et b tels que a£ x£ b. L'amplitude de l'encadrement est c = b-a

Valeur Approchée : Soit a, x 2 nombres et e >0. Alors a est une valeur approchée de x (ou approximation) à e près (ou à la précision e près) quand |x-a| £ e

Définition : Soit a, x réels et e > 0,

• a est une valeur approchée de x à e près par défaut si a £ x £ a + e
• a est une valeur approchée de x à e près par excès si a -e £ x £ a

Propriétés :

• Soit x tel que a £ x £ b, une valeur approchée de x est c = (a+b) / 2. La précision est e = (b-a) / 2 et c est une valeur approchée de x à e près soit : |x-c| £ e .
• Si x tel que a £ x £ b et que c £ a £ b £ d alors on a : c £ a £ x £ b £ d
• Si x tel que a £ x £ b, un majorant de |x| est le plus grand nombre en valeur absolue |a| ou |b| .