Chapitre 1 : Dérivées et primitives

I) Dérivation

1) Définitions

· Soit f une fonction définie sur un ensemble D

Soit a appartient à D

On dit que f est dérivable en a lorsque : lim _{h --> 0} (f(a+h) – f(a)) / h existe et est un réelle.

Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et notée f ’(a)

· Tangente à la représentation graphique de f

Si f est dérivable en a, alors la courbe représentative de f admet au point A d’abscisse a une tangente de coefficient directeur f ’(a)

T : y = f ‘(a) (x – a) + f (a)

2) Dérivabilité des fonctions usuelles

· Toute fonction polynôme est dérivable sur R

· Toute fonction rationnelle (= quotient de polynômes) est dérivable sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition

· La fonction racine carrée est dérivable sur ] 0 ; + ¥ [, R^{+ *}

3) Dérivée des fonctions usuelles

f (x)	f est dérivable sur	f ‘(x)
K (cte)	R	0
x	R	1
1/x	R^*	-1/x²
x^n (n entier relatif ¹ 0)	n > 0 sur R n < 0 sur R^*	n x^n-1
Öx	] 0 ; + ¥ [	½ Öx
sin x	R	cos x
cos x	R	- sin x
tan x

4) Formulaires de dérivation

Soient f et g deux fonctions dérivable sur un intervalle I

Alors f + g est dérivable sur I et (f + g)’ = f ’+ g’

f * g (f * g)’ = f ’g + fg’

k * f (k * f)’ = k * f ’

1/f (fx) ¹ 0 (1/f)’ = -f ’/f²

f/g (gx) ¹ 0 (f/g)’ = (f’g – fg’) / g²

5) Dérivation d’une fonction composée

Théorème (admis)

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J

avec u(I) est inclus dans J (c’est à dire que pour tout x de I, u(x) appartient à J)

f _° u est dérivable sur I

et (f _° u)’(x) = f ’(u(x)) * u’(x) pour tout x de I

(f _° u)’ = f’(u) * u’

Conséquence 1: Dérivée de Öu

Si u est dérivable sur I et strictement positive sur I, alors Öu est dérivable sur I et

(Öu)’= u’/2Öu

Conséquence 2 : Dérivée de uⁿ

Si u est dérivable sur I, et si n est positif alors uⁿ est dérivable sur I.

Si n est négatifs et u ne s’annule pas sur I alors uⁿ et (uⁿ)’ = n*u^n-1 * u’

II) Primitives

1) Définition

· Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F définie sur I est une primitive de I lorsque :

* F est dérivable sur I

* F’(x) = f(x) pour tout (x) de I

Théorème (admis)

toute fonction dérivable sur I admet des primitives sur I.

2) Ensemble des primitives d’une fonction

· Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

Soit F une primitive de f sur I

La fonction G définie par G(x) = F(x) + K est aussi une primitive de f

· Réciproquement, si F et G sont deux primitives de f sur I,

alors G’(x) = F’(x) = f(x) pour tout x de I

G’(x) – F’(x) = 0 pour tout x de I

(G – F)’(x) = 0

donc (G – F)(x) = K

D’où le Théorème :

Soit f une fonction dérivable sur I

Soit F une primitive de f sur I

G est une primitive de f sur I si et seulement si

il existe un réel k tel que :

G(x) = F(x) + K pour tout x de I

3) Primitive prenant une valeur donnée

Théorème : f est dérivable sur I

Soit x₀ appartient à I, soit y₀ appartient à R

f admet une primitive et une seule, G(x₀) = y₀

4) Primitives usuelles

f(x)	F(x)
k	kx
x	x²/2
n¹-1 x^n	x^n+1/(n+1)
1/x²	-1/x²
1/Ö(x)	2Öx
cos x	sin x
sin x	-cos x

5) Formules usuelles

a) Somme

Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I, alors F+G est une primitive de f+g sur I.

b) Primitive de kf où k appartient à R

Si f est une primitive de f sur I et si k appartient à R, alors kf est une primitive de kf sur I.

c) u fonction dérivable sur I

u² a pour dérivée 2u.u’ a pour primitive u²

donc 2u.u’ a pour primitive u²

u.u’ a pour primitive u²/2

uⁿ a pour dérivée n.u^n-1.u’

donc n.u^n-1.u’ a pour primitive uⁿ

u^n-1.u’ a pour primitive uⁿ/n

uⁿ.u’ a pour primitive uⁿ⁺¹/(n+1)

d) 1/u a pour dérivée –u’/u²

-u’/u² a pour primitive 1/u

u’/u² a pour primitive –1/u

e) Ö(u) a pour dérivée u’/2Ö(u)

donc u’/2Ö(u) a pour primitive 2Ö(u) (+k)

u’/Ö(u) pour primitive 2Ö(u)